Soluzione all'enigma 4, proposto da Sofia S. il 29 marzo 2004

Sulle 64 caselle di una classica scacchiera si dispongano i numeri naturali da 1 a 64. Chiamiamo SORELLE due caselle che hanno un lato in comune (per stare nelle notazioni di Anita, sono sorelle due caselle sulle quali riesco a sovrapporre un pezzo di domino). È  possibile disporre i numeri sulla scacchiera in modo che la differenza tra i numeri presenti su due caselle SORELLE sia sempre al massimo 4?
Se è possibile, si chiede di mostrare (almeno) una disposizione coerente con le richieste. Eventualmente, si chiede di classificare tutte le possibili disposizioni.
Se non fosse possibile, si chiede di dimostrare il perché. In questo caso, tutti i sistemi sono possibili. Ma vi prego... evitiamo l'elencazione di tutte le disposizioni possibili...! A proposito, quante sarebbero?

Non è possibile disporre i numeri sulla scacchiera in modo che la differenza tra i numeri presenti su due caselle SORELLE sia sempre al massimo 4.

Anzitutto si osserva che per congiungere due caselle qualsiasi della scacchiera, passando attraverso caselle contigue, occorrono al massimo 14 passi (questi sono i passi che ci vogliono per andare su due caselle agli estremi di una diagonale principale: 7 passi in verticale e 7 passi in orizzontale). Ora, consideriamo la casella con il numero 1 e quella con il numero 64 (il più piccolo e il più grande dei numeri assegnati). Se ad ogni coppia di caselle SORELLE fossero assegnati numeri che differiscono di più di 4, il salto complessivo per andare da una di queste due caselle all'altra sarebbe minore o uguale a 4x14 = 56. Il che è assurdo, perché 64 - 1 = 63 che notoriamente è maggiore di 56.

Pertanto in almeno una coppia di caselle SORELLE il salto è maggiore di 4.