Soluzione all'enigma 18, proposto da Sofia S. il 18 ottobre 2004
Paolo e Francesca hanno tre figli. Dante, loro vecchio amico, li incontra e chiede informazioni sulle età della loro prole. In tutta risposta i due gli dicono che la somma delle età dei tre pargoli è uguale al loro prodotto. Al che Dante capisce che tra i tre non ci sono gemelli e che, forzatamente, essi hanno rispettivamente 1, 2 e 3 anni. Come può Dante essere tanto sicuro?
Giovanni Vertuan è stato il primo a rispondere, con queste parole: Una soluzione
(ma chissà perché credo non sia quella da trovare) è che in realtà i tre siano tutti
gemelli e non abbiano ancora compiuto l'anno.
Ora, se traduciamo il problema nell'equazione
(*) x + y + z = xyz
è chiaro che la terna (0, 0, 0) costituisce una delle soluzioni intere. Ma, come
Giovanni stesso dice, non è quella da trovare. Anzi: la soluzione da trovare la dà Dante
stesso e la domanda è : come fa ad essere così sicuro? Quindi ci sarebbe da chiedersi
come fa ad escludere questa evenienza. Se qualcuno non sa rispondere, probabilmente non ha
mai visto una madre con tre gemellini al seguito a meno di un anno dal parto
plurigemellare...
Mi ha lasciato basita la soluzione proposta da Luca L., che recita esattamente così: Mi
pare sia tutto un continuo gioco di disegni di opportune iperboli, che escludono tutte le
possibilità: anzitutto è semplice vedere che non possono esserci gemelli. Poi, volendo
le età intere, ancora mediante disegni di iperboli, si ha che l'unica soluzione possibile
è 1,2,3.
Mi viene in mente una frase di Enrico Giusti (mi viene in mente perché
l'ho letta ieri nel suo "La matematica in cucina", non perché
io abbia buona memoria!): "In matematica, per indovinare quale sarà il risultato
tutti i mezzi sono buoni: disegno, sogno, visita alla cartomante, ma per dimostrarlo c'è
solo un metodo, quello di passare logicamente dalle ipotesi (e dalle cose che si conoscono
già perché sono state dimostrate prima) alla conclusione.
Ora, io non capisco se quelle di Luca sono visioni, piuttosto che una presa in giro di
tante dimostrazioni fatte da tanto di prof. che se la cavano con un "è banale",
o con un "è evidente" ecc. ecc.
Veniamo alla soluzione proposta da Stefano P.. Intanto il nostro mitico fondatore è
stato il primo a risolvere l'enigma nell'enigma: "grandi novità da comunicarsi a
mezzo il primo enigma... che è un enigma sui figli di Paolo e Francesca... e l'Epsilon
della firma... è nel senso di Erdos? Ma forse dobbiamo farti (farvi) le
congratulazioni??". Ebbene sì, il mio pancione nasconde un Epsilon nel senso di
Erdos. Non che io e Stefano abbiamo avuto l'onore di conoscerlo: il nostro numero dei
Erdos è infinito. Però entrambi abbiamo letto (e io grazie a lui) "L'uomo
che amava solo i numeri" di Paul Hoffman, e ve lo
consigliamo. Anche Michela E. ha brillantemente risolto l'enigma di Epsilon, e cogliamo
qui l'occasione per ringraziarla delle felicitazioni e degli auguri. Ma veniamo all'enigma
principale. Questo è quanto propone Stefano (a me pare non faccia una grinza):
Assunzione (ragionevole!): le eta' dei figli sono interi positivi; ovviamente la terna
(0,0,0) è soluzione, ma non sembra ragionevole, inoltre se una qualsiasi delle tre è
nulla, necessariamente lo sono anche le altre, quindi possiamo supporre che tutte e tre le
età siano non-nulle; indichiamole con x,y,z. Il problema è dunque
x + y + z = xyz
1) I figli non possono essere gemelli. Se fosse, per esempio x=y si avrebbe
2x + z = (x^2)z
da cui risolvendo rispetto ad x l'equazione di 2° grado
x = (1 + sqrt(1 + z^2)) / z
oppure
x = (1 - sqrt(1 + z^2)) / z
In entrambe le soluzioni, la parte interessante è la radice quadrata
di 1 + z^2...
L'unico naturale tale che sia lui che il successivo del suo quadrato
sono quadrati è 0, in contrasto con l'assunzione fatta.
A questo punto non è restrittivo supporre 0 < x < y < z.
2) se x >= 2 allora x+y+z < xyz; proviamolo per induzione su x:
Intanto osserviamo che sia y che z sono >=3
x=2)
2yz = yz + yz > 2z + 2y = z+y+z+y >=
z+y+6 > 2+y+z
x ==> x+1)
(x+1)yz = xyz + yz > x+y+z+yz >= x+y+z+6
> (x+1)+y+z
Da 2) si ricava che necessariamente x=1, ovvero il problema da risolvere diventa
1 + y + z = yz
3) se y >= 3 allora yz > y+z+1; induzione su y:
Intanto osserviamo che z>=4
y=3)
3z = z+z+z > z+z >= 4+z = 3+z+1
y ==> y+1)
(y+1)z = yz+z > y+z+1+z >= (y+1)+z+4 >
(y+1)+z+1
Da 3) si ricava che necessariamente y=2, allora il problema diventa
1 + 2 + z = 2z
che risolto per z dà la soluzione (x,y,z)=(1,2,3).
Anche la soluzione di Anita mi ha lasciato a bocca aperta. Dà per scontato che l'unico
numero perfetto divisibile per 3 sia 6. Ma soprattutto non si capisce perché la somma di
tre numeri debba essere divisibile per 3: se le età fossero 5, 4 e 2 ne verrebbe da sè
che l'assunto non vale. Comunque ecco le parole di Anita: La somma della età è
uguale al prodotto; significa che la somma delle età deve essere un numero perfetto.
Inoltre poichè i figli son 3, tale numero deve aver 3 divisor (oltre a se stesso ) quindi
è necessariamente 6 e le 3 età sono appunto i 3 divisori 1,2,3.
È imbarazzante (essendo io stessa un'insegnante) quanto ci rivela Silvia P.: Per risolvere il suo enigma ho chiesto aiuto alla mia profe di matematica (magari la conosce: ------ --------- Qui Silvia rivela il nome della sua insegnante, che per questioni di privacy omettiamo), la quale dopo una settimana di intenso ragionamento mi ha detto che dovevo guardare i numeri perfetti (dei quali solo oggi ho scoperto l'esistenza), cioè quelli, se non erro, che sono uguali alla somma di tutti i loro divisori, escluso il numero stesso. Mi piace quest'idea, un po' biblica, per cui dare un nome alle cose significa dominarle!
Ecco ora un'altra possibile strategia di soluzione (che procede per
passi, similmente a quella di Stefano, ma che non ricorre all'induzione).
1) I tre numeri non possono essere uguali;
se fosse x=y=z si dovrebbe avere 3x=x^3 la cui unica soluzione intera
è 0.
Ma allora saremmo nel caso in cui le tre età sono tutte nulle che,
come osserva Stefano, non è ragionevole!
2) Supponiamo ora x<=y<=z.
Allora si ha
xyz<=3z
da cui xy<=3.
Essendo x e y interi possono darsi tre casi: (x=1, y=1), (x=1, y=2),
(x=1, y=3).
Consideriamo il primo caso. Si avrebbe 1+1+z=z che è assurdo.
Consideriamo il terzo caso. Si avrebbe 1+3+z=3z da cui z=2. Ma allora
sarebbe z<y, assurdo.
Rimane il secondo caso, in cui si ottiene 1+2+z=2z da cui z=3. Ecco la
soluzione!