Soluzione all'enigma 19, proposto da Michela E. il 19 ottobre 2004

Dovete sapere che nell'isola dei famosi - non sono un'appassionata di tale programma ma mi serve per la scenografia - vive una popolazione di camaleonti. Questi simpatici animaletti sono capaci di assumere 3 colori diversi, giallo, verde e nero. Ora, da quando sull'isola è approdata questa folla di vips per la popolazione dei camaleonti è iniziato l'inferno: disturbati dalla confusione e dalle telecamere essi hanno iniziato ad essere sempre più stressati finché adesso succede il seguente strano fatto: ogni qual volta due camaleonti di colore diverso si incontrano essi assumono il terzo colore. Prima che arrivasse la banda di DJ Francesco e soci è stata mandata la Ventura a contare quanti camaleonti ci fossero sull'isola e di quale colore essi fossero. La poverina ci ha messo un bel po' e ne è quasi uscita pazza - è per quello che Bettarini si è stufato e stanno divorziando - ma alla fine ne ha contati 13 gialli, 15 verdi e 17 neri.
Ora io vi chiedo, è possibile che ad un certo momento possa sucedere che tutti i camaleonti abbiano lo stesso colore????
Siccome le stime della Ventura possono non essere corrette, provate anche a risolvere lo stesso mistero nel caso generale in cui ci siano sull'isola a camaleonti gialli, b verdi e c neri (a,b,c numeri naturali).

Guardate un po' la soluzione data da Michela. Non c'è che dire: grandiosa!

I colori dei camaleonti ad un dato istante si possono descrivere tutti tramite una terna di interi (x,y,z) ove x indica quanti sono quelli gialli, y quelli verdi e z quelli neri. Dobbiamo verificare se è possibile, partendo dalla terna (13, 15, 17) ottenere con le regole descritte, una delle terne (45,0,0) (0,45,0) (0,0,45).
Poiché ad ogni incontro fra camaleonti di colori diverso questi assumono il terzo colore, uno dei tre numeri aumenta di 2 unità e gli altri diminuiscono di 1. Ovviamente rimane invariato il numero totale N = x + y + z dei camaleonti ma vi è anche un altro invariante che è utile per risolvere il problema: il resto r della divisione di x - y per 3.
Infatti, per ogni incontro in cui i camaleonti cambiano colore, i primi due numeri (x,y) vengono rimpiazzati da (x-1,y-1) oppure da (x+2, y-1) o ancora da (x-1, y+2). Nel primo caso x-y non cambia, negli altri due casi x-y cambia di 3 e quindi il resto r della divisione di x-y per 3 rimane invariato.
Siccome per la terna iniziale (13,15,17) si ha r=1, non potrà mai accadere che essa si trasformi in una delle terne (45,0,0) (0,45,0) (0,0,45) per le quali si ha invece r = 0.

Si capisce allora come si può affrontare il caso generale: se il numero totale di camaleonti è divisibile per 3 allora si potrà ottenere una situazione stabile in cui vi sono camaleonti di un solo colore solo partendo da una situazione per cui l'invariante r è divisibile per 3. Si noti che ciò implica che i tre numeri iniziali a,b,c abbiano tutti lo stesso resto nella divisione per 3 (se a-b = 3 h e a+b+c = 3k allora anche a-c = 3 t con h,k,t numeri interi). È facile vedere che è effettivamente possibile, partendo da una configurazione con la proprietà indicata, raggiungere quella in cui si hanno camaleonti di un solo colore (uno qualunque dei tre).  Se invece il numero totale N dei camaleonti non è divisibile per 3, allora l'invariante r assume tre valori diversi in corrispondenza delle terne (N,0,0) (0,N,0) (0,0,N) il che significa che è possibile, qualunque sia la configurazione iniziale, raggiungere uno stato "monocromatico" di uno solo dei tre colori.