Soluzione all'enigma 24, proposto da Luca L. il 13 dicembre 2004

Siamo a Granada, in Spagna, dove un'avvenente guida turistica di nome Salomè sta accompagnando un gruppo di giovani matematici in visita all'Alhambra, antica città circondata da mura e ricca di giardini e templi. Giusto per capire la profondità delle spiegazioni di Salomè, vediamo un esempio: "This is a very romantic river, and it has the same name of the city, because the city has the same name of the river".
Arriviamo al primo tempio da visitare, con la pavimentazione di forma rettangolare, e non quadrata, ricoperto da mattonelle quadrate da 50 cm di lato. Le mattonelle sono di due colori diversi, gialle e rosse. Quelle gialle ricoprono un rettangolo centrale. Le mattonelle rosse coprono invece una bordura di larghezza costante attorno al rettangolo giallo. Le mattonelle gialle e quelle rosse sono in numero diverso; nonostante ciò, Salomè fa osservare che è possibile, utilizzando le stesse mattonelle del pavimento, mettere le rosse a formare un rettangolo centrale, e le gialle a formare la bordura.
Quanto vale, COME MINIMO, la misura della superficie del pavimento del tempio?

Denotiamo con x e y le dimensioni del pavimento rettangolare, e con z e w gli spessori delle due cornici riferite ai due modi di pavimentare. Possiamo supporre z<w e x<y. Allora si ha, per ipotesi, xy-(x-2z)(y-2z)=(x-2w)(y-2w).
Trovando y in funzione di x,z,w si trova che y e' una funzione crescente di x. Inserendo i più' piccoli valori possibili per z e w (z=1 e w=2) si trova  y=2(3x-10)/(x-6), che assume valore intero per x=7 e per x=8. La soluzione x=8 fornisce l'area più piccola possibile, costituita da 112 piastrelle.
Quindi l'area minima del pavimento è 2800 dm^2.