Soluzione all'enigma 25, proposto da Paolo P. il 29 dicembre 2004

Prendiamo un sfera di raggio R, facciamo un buco con un trapano che passa per il centro, in questo modo abbiamo rimosso le due calotte e un cilindro ottenendo un anello. Ora misuriamo l'altezza L di questo anello, se si calcola li volume di questo solido si noterà che questo non dipende da R ma solo da L.

Paolo C., sollecitato da una e-mail di Paolo P. che lamentava di non aver ricevuto soluzioni all'enigma proposto, scrive:
"Ho calcolato il volume del tuo bizzarro anellino, integrando in coordinate cilindriche...
Mi è venuto che il volume è qualcosa del tipo
(1/6)*Pi*L^3
che come tu accennavi non dipende da R...
Questa cosa è carina in effetti, ma in realtà non riesco a capire dove stia l'enigma...
Cioè mi pare plausibile: se parto da una sfera grande, avro un anello largo, ma sottile, al contrario da una sfera piccola avrò un anello tozzo. Vabbè, penso, sarà che le due cose riscalano alla stessa maniera e l'effetto si pareggia... ma...
Ti prego, non dirmi che sono invecchiato dentro e che non so più stupirmi per queste cose, dimmi piuttosto che sono un grullo e che non ho capito un tubo..."

Al che Paolo P. così risponde:
"il mio enigma non era effettivamente posto in forma enigmistica e neppure enigmatica, era semplicemente un'asserto che andava capito e provato. Mi avevavano fatto notare questa cosa e mi era sembrata carina.
La risposta "qualcosa del tipo (1/6)*Pi*L^3" non mi
sta bene. È così o non è così? Ovviamente essendo un volume doveva essere proporzionale a L^3, ma sei sicuro della correttezza del fattore di proporzionalità?
Quello che dici sulla plausibilità del risultato è assolutamente ragionevole, ma non dici perchè le due cose (quali cose?) riscalano alla stessa maniera; e che cosa intendi con "l'effetto si pareggia"?
Premesso che ho capito quello che volevi dire, quello che ti chiedo è di essere più quantitativo e dettagliato. Dopo aver letto i tuoi commenti ho riformulato il quesito (vedi piu` avanti).
Comunque sia, non sarò certo io a dirti che sei invecchiato dentro e che non sai più stupirti di queste cose. L'arcano rimane tale, ossia perchè il volume dipende solo da L? Eseguendo il calcolo si ottine il tuo risultato (il fattore che hai scritto è quello corretto), ma non sono riuscito a spiegarmi il perchè di questo fatto in termini elementari, magari una risposta non esiste, a voi tutti rilancio la sfida ponendola in questi termini: se doveste spigare a qualcuno che non ne sa troppo di matemantica (non maneggia gli integrali), come spighereste questo fatto?
Questo non era un enigma nel senso stretto del termine, ma una domanda che mi sono posto, e a cui nè io nè altre persone a cui ho proposto il quesito hanno saputo darmi una risposta.