Soluzione all'enigma 34, proposto da Luca L. il 14 marzo 2005

Uno schema tipo battaglia navale è costituito da 19 linee orizzontali e 98 colonne. Antonio ha scritto le 26 lettere dell'alfabeto in ordine, riga per riga, una lettera per casella, cominciando dalla lettera A nella casella (1,1), e ripetendo l'alfabeto tante volte quante sono necessarie per arrivare all'ultima casella (19,98). Luca ha fatto la setssa cosa, ma lavorando sulle colonne, annerendo via via tutte le caselle in cui compaiono lettere uguali. Quante caselle ha dovuto annerire Luca?

Se denotiamo con x il posto occupato nell'alfabeto dalla lettera scritta nella casella (a,b) nel primo dei due modi, allora è x=98(a-1)+b.
Analogamente in quella casella, scrivendo nel secondo modo, ci sarà la lettera che occupa il posto y=19(b-1)+a.
Affinché le due lettere coincidano x deve essere congruo a y modulo 26 (cioè 26 deve dividere x-y). Quindi 19a-8b deve essere congruo a 1 modulo 26. Ora basta contare, anche empiricamente, le soluzioni, e qui tralascio per semplicità. In totale ci sono 76 caselle annerite.