Soluzione all'enigma 45, proposto da Silvia P. il 30 maggio 2005

Il nonno di Heidi acquista un terreno adibito a pascolo nel quale l'erba, che è già ad una certa altezza, cresce con ritmo costante. Il nonno ha una mucca, una capra e una pecora, e sa che ogni giorno la mucca mangia lo stesso quantitativo d'erba che viene mangiato insieme dalla capra e dalla pecora. Ha inoltre calcolato che, a partire dall'indomani, il pascolo sarebbe sufficiente a nutrire la mucca e la capra per 45 giorni fino a sera, oppure la mucca e la pecora per 60 giorni, oppure la capra e la pecora per 90 giorni. In tutti e tre i casi, alla fine non resterebbe più un filo d'erba.Per quanti giorni nutrirebbe la mucca, la capra e la pecora contemporaneamente?

Vi propongo la soluzione di Fulvia, che è stata la prima a mandarla.

Il nonno di Heidi può nutrire la mucca, la capra e la pecora contemporaneamente per 36 giorni.

Tenendo conto del fatto che all'inizio c'è un certo quantitativo di erba e che quest'ultima cresce ogni giorno con ritmo costante, mentre la mucca, la capra e la pecora mangiano ogni giorno un certo quantitativo di erba, per risolvere il problema ho utilizzato le seguenti incognite:
E = quantità di erba presente all'inizio
e = quantità di erba che cresce in un giorno
M = quantità di erba che la mucca mangia in un giorno
C = quantità di erba che la capra mangia in un giorno
P = quantità di erba che la pecora mangia in un giorno

"Ogni giorno la mucca mangia lo stesso quantitativo d'erba che viene mangiato insieme dalla capra e dalla pecora" diventa:
M = C+P
"Il pascolo sarebbe sufficiente a nutrire la mucca e la capra per 45 giorni fino a sera, oppure la mucca e la pecora per 60 giorni, oppure la capra e la pecora per 90 giorni. In tutti e tre i casi, alla fine non resterebbe più un filo d'erba" diventa (erba prodotta - erba mangiata = 0):
E+45e-45(M+C) = 0   =>   E = 45M+45C-45e
E+60e-60(M+P) = 0   =>   E = 60M+60P-60e
E+90e-90(C+P) = 0   =>   E = 90C+90P-90e
Cioè:
45M+45C-45e = 60M+60P-60e
45M+45C-45e = 90C+90P-90e
M = C+P

Facendo un po' di passaggi che tralascio per semplicità, si ottiene:
M = 3e
C = 2e
P = e

Da cui:
E = 45M+45C-45e = 45 (M+C-e) = 45 (3e+2e-e) = 45*4e = 180e
ed anche
M+C+P = 6e

Infine, indicando con
g = numero di giorni in cui si possono nutrire mucca, capra e pecora contemporaneamente che è ciò che si vuole determinare, si avrà:
E+g*e-g(M+C+P) = 0  => 180e+g*e-g(M+C+P) = 0  => 180e+g*e-g(6e) = 0   =>
180e+g*e-6g*e = 0  =>  5g*e = 180e  => 5g = 180  => g = 180/5 = 36

Quindi se i tre animali si nutrono contemporaneamente, tenendo conto dell'erba iniziale e della crescita giornaliera, hanno cibo sufficiente per 36 giorni.