Soluzione all'enigma 50, proposto da Sara D.M. l'11 luglio 2005
Una piantagione di banane è situata in pieno deserto. Il
proprietario ha raccolto 3000 banane che vuole trasportare, con l'unico cammello che ha a
disposizione, fino al mercato più vicino che dista 1000 chilometri dalla piantagione. Il
cammello riesce a trasportare al massimo 1000 banane per volta e mangia una banana per
ogni chilometro percorso.
Qual è il numero massimo di banane che l'uomo potrà vendere al mercato?
L'uoma arrivera' al mercato con 533 + 1/3 (=533,33) banane e potrà quindi venderne
533.
Infatti: poiché ci sono 3000 banane e il cammello ne può trasportare al più 1000,
saranno necessari almeno 5 viaggi (3 di andata e 2 di ritorno) dalla piantagione:
===And==>
<==Rit===
P(piantagione) ===And==> A
<==Rit===
===And==>
dove però il punto A non può essere il mercato perché il cammello non può percorrere
più di 500 chilometri in andata se poi dovrà percorrerne altri 500 al ritorno (il
cammello mangia una banana al chilometro e se percorresse ad esempio 1000 chilometri
all'andata non avrebbe più banane per tornare alla piantagione a prendere il resto del
raccolto).
Il punto A si trova tra la piantagione e il mercato e tra il punto A e un successivo punto
B saranno necessari meno di cinque viaggi per trasportare le banane. Si ha il seguente
schema per la soluzione del problema:
===And==>
<==Rit===
===And==>
P(piantagione) ===And==> A
<==Rit=== B ===And==> M (mercato)
<==Rit===
===And==>
===And==>
Lo schema va letto considerando prima i 5 viaggi da P ad A, poi i 3 viaggi da A a B e poi
l'ultimo da B a M.
Il primo tratto PA deve necessariamente esistere. Il tratto AB o BM potrebbero avere
lunghezza zero? Si risponde alla domanda facendo un'analisi dei costi di ciascun tratto;
ogni chilometro della sezione PA (considerando la sezione con tutti i viaggi di andata e
ritorno) costa 5 banane; ogni chilometro di AB costa 3 banane e ogni chilometro di BM
costa una sola banana. Si deve quindi fare in modo che il tratto PA sia minore di AB e che
AB sia minore di BM. Poiché PA è sicuramente maggiore di zero, anche gli altri due
tratti hanno lunghezza maggiore di zero, cioé devono esistere.
Il cammello può trasportare dal punto A al massimo 2000 banane (perché dal punto A al
punto B ci sono due viaggi) e questo vuol dire che la distanza PA deve essere scelta in
modo tale che al punto A arrivino esattamente 2000 banane. Se tale distanza fosse scelta
inferiore, arriverebbero più di 2000 banane nel punto A e il surplus non potrebbe essere
trasportato (da A si fanno solo due viaggi di andata), se fosse superiore il cammello
mangerebbe più banane del necessario (facendone arrivare meno di 2000 in A).
Si calcola così che la lunghezza del punto PA deve essere di 200 chilometri
(3000 - 5*PA = 200 ==> PA = (3000 - 2000)/5 = 200).
La situazione nel punto B é del tutto simile a quella nel punto A. Il cammello non può
trasportare più di 1000 banane da B ad M e la distanza da A a B deve essere scelta in
modo tale che in B arrivino esattamente 1000 banane. Si ha
2000 - 3*AB = 1000 ===> AB = (2000 - 1000)/3 = 333,33.
Il tratto BM ha quindi la seguente lunghezza: 1000 - PA - BM = 466,66.
Il cammello parte da B con 1000 banane, ne consuma 466,66 durante l'unico viaggio verso il
mercato e arriva quindi con 533,33 banane.
Riepilogando:
Il cammello parte da P con 1000 banane;
arriva in A con 800 banane;
ne lascia 600 e ne consuma 200 per tornare in P;
da P riparte con 1000 banane;
arriva in A con 800 banane
ne lascia 600 (più le 600 che c'erano già, sono 1200 banane in tutto) e ne consuma 200
per tornare in P;
da P riparte di nuovo con 1000 banane e arriva in A con 800.
In A ci sono infine 2000 banane.
Da A l'uomo riparte con 1000 banane
arriva in B con 666 + 2/3 banane. Ne prende 333 + 1/3 per il viaggio di ritorno
e in B ne rimangono 333 e 1/3.
Da A parte con le ultime 1000 banane e arriva in B con 666 + 2/ 3 banane.
In B ci sono infine 1000 banane.
Il tratto BM è stato calcolato essere di 466+2/3 chilometri e l'uomo arriva quindi al
mercato con 533+1/3 banane.