Soluzione all'enigma 61, proposto da Simone B. l'11 gennaio 2006

Berlusconi, per confondere le idee ai contribuenti e fregarli in un milione di modi diversi, ha deciso la seguente strategia per la prossima finanziaria: le dichiarazioni dei redditi dovranno essere formulate scambiando le cifre dei numeri con altri simboli scelti dal ministero. I simboli scelti per quest'anno sono le lettere, e la chiave è data dalle relazioni seguenti:
AB+AC=DE
E+F=AB
C+DF=GH
(dove per AB si intende A decine e B unità e così via). Sapendo che I-J=1, riusciranno i nostri contribuenti a trovare la chiave e compilare la dichiarazione dei redditi?

Per la soluzione, uso quella di Michela è piaciuta allo stesso Simone.
La soluzione è
a=1 b=5 c=4 d=2 e=9 f=6 g=3 h=0 i=8 j=7.
e i dettagli son qua di seguito.
Sostituiamo la seconda equazione nella prima. Si ottiene:
E + F + AC = DE
Siccome a lettera uguale corrisponde cifra uguale, questa informazione ci dice che F + C = 10 (perché così la somma a sinistra e il numero a destra hanno la stessa cifra dell'unità).
Allora dalla terza equazione leggo senz'altro H = 0. Dalla seconda inoltre, visto che le cifre vanno da 0 a 9, si ha che A = 0 oppure A = 1, e non ci sono altre possibilità. Visto che ho già detto che H = 0, deve essere per forza A = 1. Allora la precedente equazione diventa:
E + F + AC = DE ===> E + F + 1 C = D E =====> E + 20 = D E
E quindi D = 2. Allora la terza equazione diventa:
C + 2 F = G 0
e quindi deve essere per forza G = 3.
A questo punto dobbiamo scegliere F e C sulla base della relazione F + C = 10. F e C non possono essere 0, 1, 2, 3 perché li abbiamo già usati, non sono 5 perché sarebbero uguali, non sono 7, 8, 9, perché l'altro sarebbe 3,2,1 assurdo. Allora l'unica possibilità è che
a) F = 4 e C = 6
b) F = 6 e C = 4
E se ho ragionato bene non ci sono altre possibilità.
Se siamo nel caso a), allora riscriviamo il sistema:
1 B + 1 6 = 2 E =====> B + 6 = E
E + 4 = 1 B
6 + 2 4 = 30
I - J = 1.
Che cifre rimangono a disposizione per I, J, B, E?
5, 7, 8, 9.
Ora, se B = 5, 7, 8, 9 si ha che E diventerebbe rispettivamente 11, 13, 14, 15, tutti casi assurdi perché E ha una sola cifra.
Allora consideriamo il caso b). Si ha
1 B + 1 4 = 2 E =====> B + 4 = E
E + 6 = 1 B
4 + 2 6 = 30
I - J = 1.
Che cifre rimangono a disposizione ancora per E, B, I, J?
Di nuovo, 5,7,8,9.
Se B = 7,8,9 si ha un assurdo per lo stesso motivo di prima. Dunque l'unica possibilità è' che B = 5 da cui E = 9, I =8 e J = 7.
Il sistema allora diventa:
15 + 14 = 29
9 + 6 = 15
4 + 26 = 30
8 - 7 = 1.