Soluzione all'enigma 62, proposto da Sara D.M. il 30 gennaio 2006

Due commercianti, Kostas e Nico,  decidono di andare al mercato per vendere delle galline. Stabiliscono che il prezzo della prima gallina venduta sia di un euro e che per ogni altra gallina venduta tale prezzo sia incrementato   di volta in volta di due euro. Quindi:
prima gallina venduta, 1 euro;
seconda gallina, 3 euro,
terza gallina, 5 euro
e così via.
A fine giornata, dopo aver venduto un certo numero di galline, dividono l´intero ricavato in mucchietti da 10 euro. 
A turno ognuno di loro prende un mucchietto.
Kostas prende un mucchietto, Nico un altro mucchietto, poi Kostas prende un  mucchietto, Nico un altro mucchietto e così via.
Alla fine però Kostas prende il penultimo mucchietto, contenente 10 euro, ma i due si accorgono che l´ultimo mucchietto rimasto, destinato a Nico, contiene meno di dieci euro. Kostas prende allora un coltello dal taschino e lo regala a Nico. I due concordano sul fatto che il valore del coltello sia pari alla cifra che manca per completare l´ultimo mucchietto, cioè per far si´ che anch´esso contenga 10 euro.
Quanto costa il coltello?

Ecco la soluzione proposta da Michela.
Il coltello costa 4 euro.
Per prima cosa bisogna stabilire quanto ricavano i due commercianti dalla vendita delle galline. Se si vendono m galline allora la somma ricavata - chiamiamola S_m - è pari alla somma dei primi m numeri dispari naturali.
E' facile dimostrare - utilizzando il principio di induzione ad esempio - che la somma dei primi m numeri dispari naturali è
S_m = m^2.
Ora, noi non sappiamo chi è m - altrimenti avremmo subito la soluzione. Però possiamo fare il seguente ragionamento.
Supponiamo che m sia minore di 10. Allora i quadrati dei primi 9 numeri naturali sono:
1   4   9   16   25   36    49   64  81
Dalla tua narrazione sappiamo che Kostas sceglie per primo e prende un mucchietto da 10, quindi 1, 4, 9 devono essere scartati, cioè i due devono aver venduto più di 3 galline. Dopo sceglie Nico che già dopo il primo "giro" potrebbe trovarsi col mucchietto più piccolo.
Questo ragionamento ci dice che la cifra delle decine del numero m^2 (euro ricavati) deve essere dispari perché Kostas ha sempre a sua disposizione un mucchietto da 10.
Allora  gli unici valori (per m < 10) che vanno bene per m^2 sono 16 e 36. In entrambi i casi l'ultimo mucchietto di Nico è di 6 euro e dunque la differenza per arrivare a 10 è 4 euro (valore del coltello).
Trattiamo ora il caso più generale, cioè che m^2 sia il quadrato di un numero m a più cifre. Il ragionamento di cui sopra di nuovo è valido, cioè che la cifra delle decine di m^2 deve essere dispari.
Allora a questo punto supponiamo che il numero m sia formato dalle seguenti n cifre: a_1 a_2....a_{n-1} a_n, dove a_n indica la cifra delle unita' di m e a_{n-1} indica la cifra delle decine di m.
m^2 come e' ottenuto? Moltiplicando m per m. Facciamo in modo di fare la moltiplicazione in colonna come ci hanno insegnato alle elementari.
Allora la cifra delle unità di m^2 sarà a_n^2 mentre la cifra delle decine di m^2 saraà 2 (a_{n-1}) (a_n). Quando la cifra delle decine è dispari? Quando il "riporto" (cioè la cifra delle decine di a_n^2 che va sommata al termine 2 (a_{n-1}) (a_n)) è essa stessa dispari. Ma dal passo precedente questo è possibile solo quando a_n = 4 o a_n = 6. In ogni caso la cifra delle unità di a_n^2 e' 6 e il "riporto" e' 1 o 3 in ambo i casi dispari.
Allora dopo un certo numero di volte di nuovo i due amici si troveranno a spartire 16 euro: a Kostas toccheranno 10 euro, a Nico 6 euro più il coltello (che vale allora 4 euro).
Questo ultimo ragionamento è quindi indipendente dal numero di cifre di m; in ogni caso ciò che conta e fa la differenza sono le ultime due cifre di m.