Soluzione all'enigma 64, proposto da Sofia S. il 13 febbraio 2006

Sui quattro lati di un parallelogrammo ed esternamente ad esso si costruiscono quattro quadrati.
Che figura si ottiene congiungendo i centri di questi quattro quadrati?
Giustificare la risposta.

Ecco la soluzione proposta da Fulvia.
Il quadrilatero determinato dai centri dei quadrati costruiti sui lati del parallelogramma è esso stesso un quadrato.

Preso il parallelogramma ABCD, costruisco sui suoi lati i quattro quadrati ABFE, BCHG, CDLI e DANM e indico con O, P, Q e R i rispettivi centri.
Voglio dimostrare che il quadrilatero OPQR è un quadrato.
Ovviamente i quadrati ABFE e CDLI sono uguali tra loro per costruzione e analogamente lo sono i quadrati BCHG e DANM.
Osservo intanto che gli angoli OAR e OBP risultano uguali in quanto somma di angoli uguali:
OAR=OAB+BAD+DAR
OBP=OBF+FBG+GBP
dove
OAB=OBF=DAR=GBP=45° essendo angoli formati da lato e diagonale di uno stesso quadrato
BAD=FBG perchè
BAD=180°–ABC (gli angoli adiacenti di un parallelogramma sono supplementari)
FBG=360°–ABF–ABC–CBG=360°–90°–ABC–90°=180°–ABC
I triangoli OAR e OBP risultano uguali per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli, essendo:
AO=OB in quanto semidiagonali dello stesso quadrato ABFE
AR=BP in quanto semidiagonali dei due quadrati DANM e BCHG aventi lati uguali
OAR=OBP angoli uguali per quanto dimostrato sopra.
Come conseguenza risultano uguali i lati OR=OP e anche gli angoli AOR=BOP.
In modo del tutto analogo si dimostra che OP=PQ e PQ=QR che mi fa concludere che il quadrilatero che ho costruito ha i quattro lati uguali (questo non basta, perché potrebbe essere un rombo e non un quadrato).
Devo ancora dimostrare che gli angoli di questo quadrilatero sono di 90° e mi basta dimostrarlo per uno qualsiasi dei suoi angoli. Considero allora l’angolo ROP ricordando che gli angoli AOR e BOP sono uguali, come dimostrato prima.
ROP=ROB+BOP=ROB+AOR=AOB=90° perché le diagonali di un quadrato sono perpendicolari.
A questo punto posso concludere che OPQR è proprio un quadrato.

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Ed ecco la soluzione proposta da Anita P.
È un quadrato.
I centri sono i 4 vertici dei triangoli isosceli costruiti sul parallelogramma aventi angoli alla base di 45 gradi (l'altro angolo è quindi 90 gradi). Se considero il triangolo avente un lato di un triangolo isoscele, uno dell'altro triangolo isoscele e uno del lato del quadrato finale. Ho 4 triangoli uguali di questo tipo => la figura che ottengo avendo tutti i lati uguali è o un rombo o un quadrato. Poinché l'angolo al vertice dei triangoli isosceli è di 90 gradi e poiché i 4 triangoli sono uguali, gli angoli formati dai 4 segmenti congiungenti i centri sono ancora di 90 gradi => è un quadrato.

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Ed infine la soluzione proposta da Stefano P.

Intanto quello che si ottiene è un quadrato.
Un parallelogramma è simmetrico rispetto al punto S di incontro delle diagonali, e pure tutta la costruzione che si fa è simmetrica rispettto a tale punto, quindi il quadrilatero che si ottiene deve essere simmetrico rispetto a questo punto, e dunque è a sua volta un parallelogramma. Ora mostriamo che ha i lati e gli angoli tutti uguali per concludere che è un quadrato.
Considero i triangoli (AED) e (AFB); sono congruenti per un qualche criterio... infatti hanno AE=AF (diagonali del quadrato), BF=ED (diagonali del quadrato) e angolo(AED)=angolo(AFB) (entrambi somma di due angoli di 45deg e dei due angoli che sono congruenti in quanto supplementari dello stesso angolo, quello del parallelogramma originale in F). Questo mostra che AB=AD, pertanto visto che è un parallelogramma, necessariamente tutti e quattro i lati sono uguali.
Mostriamo che l'angolo BAD è retto. Per farlo basta osservare che angolo(FAD)=angolo(GAB) perché complementari di angoli congruenti per quanto provato prima, pertanto l'angolo piatto GAE è uguale alla somma di quattro angoli, a due a due congruenti, e quindi la somma dei due angoli BAF e FAD, che è uguale a BAD, è la metà dell'angolo piatto, quindi pari a 90deg.
ABCD dunque e' un quadrato. QED.