Soluzione all'enigma 65, proposto da Stefano P. il 20 febbraio 2006

Forse ricorderete nella cronaca nera più recente il famoso caso del serial killer delle lampadine. no? Beh, permettetevi di aggiornarvi (provando a rivelarvi qualche retroscena), anche perché in un certo senso siamo responsabili anche noi di quanto é accaduto...
Intanto vi ricordate del nostro piccolo Gigetto? Beh, tanto piccolo non lo è più, infatti ormai è cresciuto ed è diventato un uomo (lo so che l'abbiamo lasciato bambino meno di un anno fa, ma nel mirabolante mondo degli enigmi anche queste cose accadono, quindi non stupitevi troppo).  Purtroppo la sua infanzia trascorsa tra giochi matematici e non, tra inverosimili piramidi di tupperware e genitori altrettanto malati di lui non poteva non lasciare il segno... pensate che disastrose conseguenze possono avere tutte queste cose sulla fragile mente di un bambino che sta formandosi giorno dopo giorno... e in effetti il trauma di essere cresciuto in una famiglia come la sua e di aver usato e abusato dei piaceri dell'enigmistica fin dalla più tenera età, beh... hanno purtroppo provocato in lui degli scompensi terribili (del resto le prime avvisaglie di questi traumi sono chiaramente identificabili anche tra di noi... :-)).
Comunque la faccenda è questa. Crescendo il (piccolo) Gigetto comincia a nutrire un lieve risentimento nei confronti di tutte le persone che nella vita preferiscono una vita di successo e realizzazione e disdegnano i piaceri dell'enigmistica perché li trovano inutili, improduttivi e buoni solo per sprecare tempo. Col tempo questo risentimento cresce fino a diventare una vera antipatia, poi una intolleanza ed infine un vero e proprio odio... finche decide di investirsi del ruolo di giustiziere per riportare le cose alla "normalità".
Sarà certamente un caso, ma a partire da quel giorno cominciano una serie di efferati omicidi, che vengono battezzati dai giornali come gli omicidi del "killer delle lampadine". Infatti pare che tale serial killer (di cui non facciamo nomi... ma cosa aspettarsi dopo un'infanzia come la sua? ;-)) scelga la sua vittima, ma prima di ucciderla gli lascia ancora una possibilità di salvarsi, infatti la sottopone ad un piccolo gioco e la giustizia solo se non riesce a verirne a capo (nel giro di una settimana?). Il gioco è' il seguente. Su una console ci sono tre interrutori che comandano 100 lampadine disposte una accanto all'altra a formare una fila e numerate da 1 a 100. I tre interrutori hanno questo effetto sulle lampadine:
1 interrutore) Accende tutte quelle che sono spente e spegne tutte quelle accese (ovvero cambia "stato" a tutte e cento le lamapdine)
2 interrutore) cambia lo stato a tutte le lampadine dispari
3 interrutore) cambia stato a tutte le lampadine il cui numero è un multiplo di 3 aumentato di 1
All'inizio Giget... ehm... il killer delle lampadine mostra alla sua potenziale vittima le 100 lampadine, facendo osservare che sono tutte accese, poi le nasconde con un telo e per 1000 volte, senza che la vittima possa vedere le sue operazioni sugli interrutori, preme gli interrutori secondo un preciso ordine, dopodiché mostra alla vittima le lampadine numero 95 e 96 permettendogli di vedere che sono spente e domanda "quante lampadine sono accese?"
Per quanto è dato sapere nessuna delle persone sottoposte a questo gioco è riuscita a eludere la triste sorte che aspetta i fallimentari... voi sapreste sopravvivre?

Le due osservazioni importanti per risolvere il problema sono:
1) il numero di lampadine accese alla fine non dipende dall'ordine in cui vengono premuti gli interruttori, ma solo dal numero di volte che ciascun interruttore viene   premuto.
2) Visto che le lampadine possono essere solo o spente o accese, premere due volte lo stesso interruttore è equivalente a non premerlo affatto, pertanto in realtà non è importante il numero di volte che un interrittore viene premuto, ma solo se tale numero è pari o dispari.
Consapevoli di questo chiamiamo a,b,c il numero di volte che vengono premuti il primo, il secondo ed il terzo interruttore rispettivamente.
Allora, ovviamente,
a + b + c = 1000
La lampadina numero 96 alla fine è spenta e, poiché l'unico interruttore che cambia il suo stato è il primo, si conclude che a deve essere dispari.
Lo stato della lampadina 95, invece è influenzato sia dal primo che dal secondo interruttore, pertanto visto che a è dispari e 95 è spenta, b deve essere pari, in modo che a + b sia dispari.
Da ciò si ricava che c deve essere dispari per fare in modo che a + b + c sia pari (uguale a 1000).
Insomma:
a = dispari
b = pari
c = dispari
quindi la situazione è la stessa che si otterrebbe premendo una sola volta il primo interruttore (tutte le lampadine si spengono), una sola vota il terzo (le lampadine multiple di tre più uno si riaccendono) e nessuna volta il secondo. Alla fine, dunque, sono accese solo le lampadine numerate con un numero multiplo di 3 aumentato di 1, che sono in numero di 34, e questa è la risposta.