Soluzione all'enigma 71, proposto da Paolo P. il 26 aprile 2006

C'e una formica che si muove sul reticolo seguente:
0 - 0 - 0 - 0 - 0
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0 - 0 - 0 - 0 - 0
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0 - 0 - 0 - 0 - 0
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0 - 0 - 0 - 0 - 0
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0 - 0 - 0 - 0 - 0
Gli 0 sono i nodi, - e | i collegamenti tra i nodi.
La formica parte dal nodo in basso a sinistra e deve raggiungere quello in alto a desta con il vincoli seguenti:
1. in ogni percorso ci cono 4 collegamenti alto-basso (U) e 4 sinista-destra (D)
2. i percorsi che costeggiano interamente i lati del reticolo non sono ammessi (UUUUDDDD e DDDDUUUU non sono ammessi).
Nel centro del reticolo c'è un chicco di grano.
Domanda:
prendendo un cammino a caso fra quelli consentiti, qual è la probabilità che la formica trovi il chicco?
Nota: i cammini consentiti sono equiporbabili.

La soluzione si basa sull'anagramma della parola
UUUUDDDD -> 8!/(4!4!) modi
U -> movimento dal basso all'alto
D -> movimento da sinistra a desta
Numero di cammini possibili: 8!/(4!4!)-2
Numero di cammini che passano per il centro: (4!/(2!2!))^2
Probabilità: (4!/(2!2!))^2 / (8!/(4!4!)-2) = 9 / 17