Soluzione all'enigma 72, proposto da Silvia P. il 1 maggio 2006
Un giorno, camminando vicino alla zona industriale di Sarezzo, mi
sono imbattuta in uno strano essere tutto verde. Sulle prime ho pensato potesse essere una
trota con mutazioni genetiche dovute a tutte le schifezze che gettano nel Gobbia, poi
l'essere mi ha spiegato di essere un marziano, in particolare un marziano matematico (ma
guarda che combinazione!). Per verificare che fosse vero, gli ho proposto di risolvere una
semplice equazione:
x^2 - 16x + 41 = 0
Per tutta risposta, il marziano mi ha detto che la differenza delle radici dell'equazione
è 10.
La domanda è: quante dita ha il marziano?
Ecco la soluzione di Stefano.
Dunque, dunque...
Se non ho sbagliato i conti mi sa che il tuo marziano ha 8 dita... potenzialmente qualcuna
di più, dipende da quanti piedi ha, da quante dita su ciascun piede e dal fatto se usi o
meno i piedi per contare... ;-)
Intanto, chiaramente, la differenza delle due soluzioni dell'equazione
x^2 - 16x + 41 = 0
non è 10 in base 10, pertanto è ragionevole ipotizzare che il nostro marziano utilizzi
un sistema di numerazione non decimale, retaggio del fatto che è abituato a contare
utilizzando come base il numero delle sue dita, che evidentemente non è 10. Il problema
è allora capire in quale base è scritta l'equazione.
Indicate con x_1 e x_2 le due soluzioni si ha che:
| x_1 - x_2 | = ... = \sqrt( 16^2 - 4 x 41 )
inoltre, indicata con b la base cercata (che è un intero maggiore o uguale a 2),
(41)_b = (4b + 1)_10
(16)_b = (b + 6)_10
(10)_b = (b)_10
pertanto per risolvere il problema dobbiamo risolvere:
(b+6)^2 -4(4b+1) = b^2
che produce b = 8, e questo è quanto.