Soluzione all'enigma 92, proposto da Michela E. il 9 marzo 2007
Michela si è innamorata perdutamente di un bellissimo ragazzo tedesco.
Purtroppo non ha ancora capito se lui "ci è" o "ci fa" quindi per ora
si accontenta di sospirare pensando intensamente "M'ama o non m'ama?". Siccome a
Berlino fa ancora freddino e non ci sono margherite da sfogliare, Michela fa il seguente
gioco: ogni giorno costruisce una tabella quadrata 4 * 4 (quattro per quattro) e in
ciascuna delle caselle della tabella scrive la cifra 1 oppure la cifra 2. La cifra 1 sta
per "M'ama" la cifra 2 sta per "Non m'ama". Ha convenuto che la somma
delle 9 cifre contenute in ciascuno dei 4 quadrati 3 * 3 (tre per tre) contenuti nella
tabella iniziale deve essere multipla di 4, mentre la somma di tutte le 16 cifre non deve
essere multipla di 4. Alla fine della giornata fa la somma delle 16 cifre e se viene fuori
un numero dispari vuol dire che quel giorno lui la ama, altrimenti vuol dire che quel
giorno lui non la ama. Michela vi chiede di determinare il massimo valore e il minimo
valore possibile per la somma di tutte le 16 cifre
P.s. probabilmente se il ragazzo tedesco venisse a conoscenza del passatempo di Michela,
se ne scapperebbe a gambe levate lasciandola sola con i suoi numeri...
Soluzione di Marco:
Per il valore minore è 1 1 1 1
1
2 2 1
1
2 1 1
1
1 1 1 (somma 19, ci sono altre 3 soluzioni
equivalenti)
mentre il valore maggiore è
2
2 2 2
2
2 1 2
2
2 1 2
2
2 2 2 (somma 30,ci sono altre 6 soluzioni
equivalenti)
ed ecco il ragionamento che ho fatto:
intanto, prima di decidere dove mettere gli 1 e 2, andiamo a vedere quanti ne possiamo
(dobbiamo) mettere.
Chiamiamo n il numero delle caselle contrassegnate dal numero 2, chiaramente tale n andrà
da zero fino a sedici, chiamiamo la somma delle 16 caselle con S16, allora si ha:
S16=
1*(16-n)+2*n
da cui S16=
n+16
questo numero é divisibile per 4 solo se lo è n e cioè per n=0,4,8,12,16 e quindi, per
rispettare la condizione del problema, gli n che ci vanno bene sono
n=1,2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15.
Passiamo ora alla somma sui sottoquadrati 3*3, chiamiamola S9, avremo che:
S9=
1*(9-n)+2*n
da cui S9=
n+9= (n+1)+8
questo numero è divisibile per 4 solo se n+1 è un multiplo di 4 e quindi le nostre
soluzioni sono n=3,7.
Ora andiamo a considerare il caso di somma minima, chiaramente questa eventualità
si verificherà quando il numero di caselle "2" (cioè n) sarà minimo e
quindi nel caso in cui ogni quadrato 3*3 ha 3 caselle "2" e sei caselle
"1".
Inoltre possiamo disporre i nostri 2 nelle caselle comuni a tutti e quattro i
sottoquadrati 3*3 minimizzando la somma S16, abbiamo il seguente schema:
0
0 0 0
0
* * 0
0
* * 0
0
0 0 0
dove 0=caselle non comuni ai quattro sottoquadrati 3*3
*=caselle comuni ai quattro sottoquadrati 3*3
quindi possiamo mettere i tre 2 al posto di tre *, tali due saranno comuni ai
sottoquadrati in modo da rispettare la condizione data di divisibilità per 4 ed inoltre
viene anche rispettata la condizione di non divisibilità per 4 sul quadrato 4*4 (la somma
finale è di 19).
Chiaramente i tre 2 si possono mettere in 4 diverse posizioni sui quattro asterischi dando
quindi quattro soluzioni equivalenti.
Per il caso di somma massima il discorso è l'opposto, i 2 da disporre sono questa volta 7
per ogni sottoquadrato 3*3 ma dovremo fare in modo di condividerne il minor numero
possibile. Ciò è possibile mettendo due 2 sugli astrerischi e gli altri cinque 2 sulle
caselle non condivise.
Ora, come si voleva, ogni sottoquadrato avrà il massimo numero di 2 rispettando la
divisibilità per 4 mentre sul quadrato 4*4 ci saranno quattordici 2 ancora una volta in
accordo con le nostre condizioni (la somma finale è di 30).
Al solito le soluzioni equivalenti sono date dalle permutazioni dei due 2 nei quattro
asterischi...6 per l'appunto.
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Soluzione di Fulvia:
Secondo i miei calcoli, il minimo valore possibile per la somma di tutte le 16 cifre è
19, mentre il massimo valore possibile è 30.
Il mio ragionamento è stato:
- Se mettessi tutti "1" nelle 16 caselle, avrei come valore minimo 16, che non
va bene perchè è multiplo di 4.
- Se mettessi tutti "2" nelle 16 caselle, avrei come valore massimo 32, che non
va bene perchè è multiplo di 4.
=> il minimo è maggiore di 16 e il massimo è minore di 32.
Considerando ora ciascuno dei 4 quadrati 3*3:
- Se mettessi tutti "1" nelle 9 caselle, avrei come valore minimo 9, che non va
bene perchè non è multiplo di 4 e pertanto il valore minimo sarà 12 (primo multiplo di
4 che trovo dopo il numero 9); ma 12 lo ottengo mettendo "1" in 6 delle 9
caselle e "2" nelle rimanenti 3. Per fare in modo di avere anche il minimo nella
tabella 4*4 devo mettere i "2" in modo che siano comuni ai 4 quadrati 3*3.
Ad esempio:
1 1 1 1
1 2 2 1
1 2 1 1
1 1 1 1
oppure
1 1 1 1
1 1 2 1
1 2 2 1
1 1 1 1
o simili.
=> Il valore minimo per la somma allora è: 19 (che non è multiplo di 4).
- Se mettessi tutti "2" nelle 9 caselle (anche se so già che NON va bene nella
tabella totale 4*4 !!!), avrei come valore massimo 18, che non è multiplo di 4 e pertanto
il valore massimo sarà 16 (primo multiplo di 4 che trovo prima del numero 18); ma 16 lo
ottengo mettendo "1" in 2 delle 9 caselle e "2" nelle rimanenti 7. Per
fare in modo di avere anche il massimo nella tabella 4*4 devo mettere gli "1" in
modo che siano comuni ai 4 quadrati 3*3.
Ad esempio:
2 2 2 2
2 2 1 2
2 1 2 2
2 2 2 2
oppure
2 2 2 2
2 1 2 2
2 2 1 2
2 2 2 2
=> Il valore massimo per la somma allora è: 30 (che non è multiplo di 4).