Soluzione all'enigma 98, proposto da Sara D.M. il 23 aprile 2007

Trovare un numero intero tale che spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottenga la metà esatta del numero dato.

Allora, il problema richiedeva di trovare un numero intero tale per cui, spostando il primo numero alla fine, ottenevo un nuovo numero uguale alla metà del primo.
Sia Q un numero naturale costituito da n+1 numeri, e sia "a" il primo numero.
Q può essere scritto come: Q = aX, dove X sono gli n numeri cominciando dall'unità e proseguendo a sinistra (decine, centinaia, migliaia....).
Facendo un esempio, se Q = 13456, a = 1 e X=3456: in questo caso, n = 4.
E' evidente che, da quanto supposto: a è un intero compreso tra 1 e 9 n è un numero intero X è un numero intero composto da n cifre
In notazione esponenziale:
Q = aX = a*10^n + X (a moltiplicato per 10 elevato alla n, più X)
Ma, secondo quanto richiesto dal testo:
Q' = Xa = 1/2* aX = Q (proprietà 1) da cui:
aX = 2Xa
Trasformando in notazione esponenziale:
a*10^n + X = 2*(10X + a)
e risolvendo per X:
X = a*(10^n-2)/19 (eq. 1)
Quindi, affinchè la proprietà 1 sia verificata, è necessario che sia verificata l'equazione 1.
Ora, X, come detto in precedenza, deve essere un numero intero; questo vuol dire che il rapporto a destra deve essere un numero intero.
Al denominatore abbiamo 19, un numero primo; d'altro canto, a è un intero tra 1 e 9, quindi non si semplificherà mai con il denominatore.
Quindi, è necessario che 10^n-2 sia un multiplo di 19.
Osservazione: da notare che 10^n-2 è un numero con n cifre; ora, supponendo di aver trovato l'"n" giusto, dividendo per 19, perderà almeno una cifra (come, ad esempio, 209/19 = 11: 209 ha tre cifre, 11 due).
Ma,come detto nelle ipotesi, X è un numero intero con n cifre (e non n-1), quindi "a" NON POTRA' mai e poi mai essere uguale a 1, ma almeno deve essere uguale a 2 per far sì che (10^n - 2)/19 abbia un totale di "n" cifre.
Quindi, la nuova condizione, da ricordare, è che: a è un numero intero compreso tra 2 e 9
Detto questo, riarrangiando l'eq. 1 come:
X/a = (10^n-2)/19
inserendo dei numeri interi al posto di n (1, 2, 3...) si vede che il primo n per cui il rapporto (10^n-2)/19 è intero è
n = 17
X/a = 5263157894736842
Questo numero ha 16 cifre, come predetto; in questo caso, per aumentarle a 17, basta semplicemente che "a" sia uguale a 2.
E allora:
a = 2,
X = 10526315789473684 e
Q = 210526315789473684
Quindi, Q' = 105263157894736842 (che è l'esatta metà di Q e si ottiene spostando il "2" dall'inizio alla fine del numero).
Da notare che posso proseguire per differenti "a", fino a 9.