Estratto dai Programmi "Brocca" di matematica ed informatica

Finalità
L'insegnamento di matematica e di informatica promuove:
- lo sviluppo di capacità intuitive e logiche;
- la capacità di utilizzare procedimenti euristici;
- la maturazione dei processi di astrazione e di formazione dei concetti;
- la capacità di ragionare induttivamente e deduttivamente;
- lo sviluppo delle attitudini analitiche e sintetiche;
- l’abitudine alla precisione di linguaggio;
- la capacità di ragionamento coerente ed argomentato;
- la consapevolezza degli aspetti culturali e tecnologici emergenti dei nuovi mezzi informatici;
- l'interesse per il rilievo storico di alcuni importanti eventi nello sviluppo del pensiero matematico.

Obiettivi di apprendimento
Alla fine del biennio lo studente deve dimostrare di essere in grado di:
- individuare proprietà invariati per trasformazioni elementari;
- dimostrare proprietà di figure geometriche;
- utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo studiate;
- riconoscere e costruire relazioni e funzioni;
- matematizzare semplici situazioni riferite alla comune esperienza e a vari ambiti disciplinari;
- comprendere e interpretare le strutture di semplici formalismi matematici;
- cogliere analogie strutturali e individuare strutture fondamentali;
- riconoscere concetti e regole della logica in contesti argomentativi e dimostrativi;
- adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti;
- inquadrare storicamente qualche momento significativo dell'evoluzione del pensiero matematico.

Contenuti
Tema 1 - GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO
Piano euclideo e sue trasformazioni isometriche. Figure e loro proprietà. Poligoni equiscomponibili; teorema di Pitagora.
Omotetie e similitudini del piano. Teorema di Talete.
Piano cartesiano: retta, parabola, iperbole equilatera.Coseno e seno degli angoli convessi. Relazione fra lati ed angoli nei triangoli rettangoli
Esempi significativi di trasformazioni geometriche nello spazio. Individuazione di simmetrie in particolari solidi geometrici.
Tema 2 - INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
Operazioni, ordinamento e loro proprietà negli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali.
Valori approssimati e loro uso nei calcoli elementari. Introduzione intuitiva dei numeri reali. Radicali quadratici ed operazioni elementari su di essi.
Il linguaggio dell'algebra ed il calcolo letterale: monomi, polinomi, frazioni algebriche.
Equazioni e sistemi di primo e di secondo grado. Disequazioni di primo grado.
Tema 3 - RELAZIONI E FUNZIONI
Insiemi ed operazioni su di essi. Prime nozioni di calcolo combinatorio.
Leggi di composizione ed individuazione di particolari strutture. Prodotto cartesiano. Relazioni binarie: relazioni d'ordine e di equivalenza. Applicazioni (funzioni).
Funzioni x -->ax + b, x -->ax^2 + bx + c, x -->a/x e loro grafici.
Tema 4 - ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA
Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e 'regola della somma'.
Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e 'regola del prodotto'.
Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici di variabilità.
Tema 5 - ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA
Logica delle proposizioni: proposizioni elementari e connettivi, valore di verità di una proposizione composta. Inferenza logica, principali regole di deduzione.
Variabili, predicati, quantificatori.
Analisi, organizzazione e rappresentazione di dati, costruzione strutturata di algoritmi e loro rappresentazione.
Automi finiti, alfabeti, parole e grammatiche generative. Sintassi e semantica. Prima introduzione ai linguaggi formali.
LABORATORIO DI INFORMATICA
Utilizzazione di un linguaggio di programmazione, analisi di problemi e loro soluzione sia con linguaggi di programmazione sia con l'utilizzo di un opportuno 'ambiente informatico'. L'attività di laboratorio, distribuita lungo tutto l'arco del biennio, sarà sempre svolta in contesto, integrando gli elementi di contenuto dei vari temi e costituirà, essa stessa, un momento di riflessione teorica. Saranno utilizzati, a seconda dei casi, DERIVE, CABRI, EXCEL, LOTUS 1-2-3, TURBO PASCAL. Nell'ambito dell'attività di laboratorio sarà inoltre possibile costruire un percorso didattico con l'Insegnante di Linguaggi non verbali e multimediali.

Commento ai singoli temi
Tema 1: GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO
Lo studio della geometria nel biennio ha la finalità principale di condurre progressivamente lo studente dalla intuizione e scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consapevolezza argomentativa. A ciò il docente può pervenire adottando un metodo che, facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dallo studente nella scuola media, proceda allo sviluppo razionale di limitate cate­ne di deduzioni; è tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissio­ne cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito, quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento. Al docente compete poi l'impegno di avviare la fase euristica su processi di assiomatizzazione partendo da semplici situazioni assunte nei vari campi. Ciò nella prospettiva di familiarizzare gli studenti col metodo ipotetico-deduttivo e pervenire negli eventuali studi successivi alla costruzione di un sistema di assiomi per la geometria elementare. A tal fine è bene programmare, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprietà (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso più tradizionale.
Un traguardo importante dello studio della geometria è il piano cartesiano, come modello del piano euclideo. Con la sua introduzione sono disponibili, per la risoluzione dei problemi geometrici, sia il metodo della geometria classica che quello della geometria analitica, e lo studente va stimolato ad usare l’uno o l’altro in relazione alla naturalezza, alla espressività e alla semplicità che essi offrono nel caso particolare in esame. La rappresentazione della paraboIa e dell’iperbole equilatera va effettuata rispetto a sistemi di riferimento scelti opportunamente.
Il coseno e il seno di un angolo sono introdotti, limitatamente agli angoli convessi, in relazione allo studio delle proprietà dei triangoli e per le necessità proprie delle altre scienze; lo studio delle funzioni circolari è rinviato al periodo successivo.
Gli elementi di geometria dello spazio hanno lo scopo di alimentare e sviluppare l’intuizione spaziale. E’ in facoltà del do­cente presentare prima la geometria piana e poi quella dello spazio, oppure fondere, in relazione agli argomenti comuni, le due esposi­zioni.
Tema 2: INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
I numeri naturali, interi, razionali, già noti agli studenti, sono ripresi in forma più sistematica; si può pervenire ai vari ampliamenti a partire da effettive necessità operative, mettendo in luce la permanenza delle proprietà formali e della relazione d’ordine. L’esposizione può anche essere arricchita con l’illustrazione dell’evoluzione storica dei concetti di numerazione e di numero.
Il numero reale va introdotto in via intuitiva, come processo costruttivo che può nascere sia da esigenze di calcolo numerico, sia da un confronto fra grandezze omogenee. E’ importante premettere esempi di calcolo approssimato, in cui porre l’accento sulla significatività delle cifre, anche al fine di far vedere come il risultato del calcolo possa essere illusorio in assenza di una corretta valutazione dell’errore.
Il docente deve programmare lo sviluppo da dare al calcolo letterale per abituare lo studente alla corretta manipolazione di formule, sempre sostenuta dalla comprensione delle procedure da seguire. Si sottolinea, a questo proposito, l’inopportunità del ricorso ad espressioni inutilmente complesse, tenendo presente che la sicurezza nel calcolo si acquisisce gradualmente nell’arco del biennio. E’ invece opportuno fare osservare che un’espressione algebrica è interpretabile in modo naturale come uno schema di calcolo che può essere illustrato da un grafo; si può anche collegare il calcolo letterale ai linguaggi formali introdotti negli elementi di informatica.
Lo studio delle equazioni, delle disequazioni e dei sistemi va connesso alla loro rappresentazione sul piano cartesiano, con relative applicazioni a problemi di varia natura; nella risoluzione è sufficiente considerare le soluzioni nell’insieme dei numeri reali.
Nel presentare argomenti tradizionali di algebra è opportuno evitare di dare carattere di teoria ad argomenti che si riducono a semplici artifizi e di fornire classificazioni e regole distinte in situa­zioni in cui valgono gli stessi principi generali.
Tema 3: RELAZIONI E FUNZIONI
Il docente, dopo aver riorganizzato le conoscenze sugli insiemi che gli studenti hanno già acquisito nella scuola media, deve aver cura di stabilire opportuni collegamenti tra le nozioni logiche e quelle insiemistiche: connettivi logici ed operazioni tra insiemi, predicato con un solo argomento e sottoinsiemi dell’insieme universo, predicati binari e relazioni ecc..
Lo studio del calcolo combinatorio si limita alle disposizioni, permutazioni, combinazioni e loro proprietà principali; il docente può approfittarne, tra l’altro, per abituare lo studente a dimostrazioni di tipo algebrico.
Dall’esame delle relazioni d’ordine, delle proprietà formali negli insiemi numerici, delle composizioni di isometrie e dall’esame di altri esempi, il docente può arrivare, attraverso il riscontro di analogie strutturali, ai concetti di gruppo, di anello, di campo e di strutture d’ordine, senza tuttavia dare alla trattazione una sistemazione teorica, che viene rinviata ai successivi studi.
Alla nozione di relazione d’equivalenza va associata quella di insieme quoziente, con varie esemplificazioni (direzione di rette, classi di resti ecc.).
Il concetto di funzione, fondamentale per stabilire relazioni di dipendenza, consente di visualizzare leggi e fenomeni in connessione interdisciplinare con altri ambiti.
L'introduzione delle funzioni x -> ax + b, x —> ax2+ bx +c, x —> a/x trova un naturale collegamento con la rappresentazione della retta, della parabola e dell’ìperbole equilatera nel piano cartesiano; analogamente la nozione di zeri ditali funzioni trova collegamento con la risoluzione delle corrispondenti equazioni.
La nozione di grafico di una funzione va illustrata anche su esempi diversi, osservando che non è necessario attendere il possesso degli strumenti del calcolo differenziale per avere un’idea qualitativa dell’andamento di funzioni definite da semplici espressioni. In questo contesto l’impiego del calcolatore può essere importante, purché lo studente abbia consapevolezza del carattere approssimato delle rappresentazioni ottenute.
Tema 4: ELEMENTI DI PROBABILITÀ E DI STATISTICA
Lo studio delle probabilità, da un lato, sviluppa un corretto approccio alla analisi di situazioni in condizioni di incertezza, dando strumenti per trattare razionalmente le proprie informazioni e assumere decisioni coerenti e, dall’altro, fornisce nuovi ambiti in cui è possibile svolgere interessanti esempi di matematizzazione.
Per il consolidamento di una mentalità probabilistica che orienti lo studente anche nei giudizi della vita corrente, sono essenziali un avvio ragionato alle varie definizioni di probabilità ed una ricca esemplificazione tratta da situazioni reali.
Lo studio delle probabilità costituisce inoltre un contesto in cui la formalizzazione e l’astrazione possono far pervenire ad una strutturazione assiomatica della teoria. Nella soluzione dei problemi è bene utilizzare una molteplicità di strumenti quali il calcolo combinatorio, i diagrammi di Eulero-Venn e grafi di vario tipo.
I contenuti della parte di statistica costituiscono l’occasione per una messa a punto più rigorosa e formalizzata di concetti e di strumenti in parte già conosciuti, suggerendone una più consolidata familiarizzazione attraverso applicazioni a problemi e contesti di tipo interdisciplinare. Particolare importanza riveste l’analisi e l’interpretazione dei dati presentati in varie forme, da quelle tabellari a quelle grafiche o a quelle più sintetiche, per mettere lo studente in grado di fruire correttamente e criticamente delle informazioni statistiche che a vario tipo gli pervengono.
Tema 5: ELEMENTI DI LOGICA E DI INFORMATICA
Gli elementi di logica non devono essere visti come una premessa metodologica all’attività dimostrativa, ma come una riflessione che si sviluppa man mano che matura l’esperienza matematica dello studente. Fin dall’inizio bisogna abituare lo studente all’uso appropriato del linguaggio e delle formalizzazioni, a esprimere correttamente le proposizioni matematiche e a concatenarle in modo coerente per dimostrare teoremi, mentre solo nella fase terminale del biennio si può pervenire allo studio esplicito delle regole di deduzione. Così, ad esempio, si può osservare che la risoluzione delle equazioni si basa sull'applicazione di principi logici che con­sentono di ottenere equazioni equivalenti o equazioni che sono conseguenza logica di altre.
Le riflessioni linguistiche e logiche acquistano una caratteristica operativa nello sviluppo della parte di programma relativa all’informatica e ai linguaggi di programmazione. Ciò consente, tra l’altro, di cogliere le differenze tra il piano linguistico e il piano metalinguistico, tra il livello sintattico e il livello semantico, particolarmente evidenziate dalla pratica al calcolatore. Va dato opportuno risalto alle analogie e alle differenze che intercorrono tra il linguaggio naturale e i linguaggi artificiali, tra il ragionamento comune e il ragionamento formalizzato.
L’introduzione di elementi di informatica avvia lo studente alla costruzione di modelli formali di classi di problemi che conducano all’individuazione di una corretta ed efficiente strategia risolutiva. Per questo è determinante abituare lo studente, partendo dal concetto di informazione, a individuare dati e relazioni tra di essi e a descrivere i processi di elaborazione che consentono di pervenire alla soluzione con mezzi automatici.
Durante l’attività di programmazione lo studente deve essere condotto a riconoscere ed utilizzare consapevolmente i tipi di dati e le loro più elementari strutture, nonché le regole di costruzione degli algoritmi (sequenza, selezione, iterazione). In tale attività si devo­no evidenziare continuamente le analogie e le differenze tra gli oggetti’ matematici e le loro rappresentazioni informatiche.
La riflessione sulla formalizzazione di un processo favorisce la acquisizione dei concetti di automa e con ciò la possibilità di riconoscere l’aspetto logico-funzionale di alcune realtà (i linguaggi formali, l’elaboratore, altri sistemi automatici).
I contenuti proposti trovano il loro naturale sviluppo nell’inte­grazione con l’attività di laboratorio.

Indicazioni specifiche
Non ci si può illudere di poter partire dalla disciplina già confezionata, cioè da teorie e da concetti già elaborati e scritti, senza prendersi cura dei processi costruttivi che li riguardano. E’ invece importante partire da situazioni didattiche che favoriscano l’insorgere di problemi matematizzabili, la pratica di procedimenti euristici per risolverli, la genesi dei concetti e delle teorie, l’approccio a sistemi assiomatici e formali. Le fonti naturali di queste situazioni sono il mondo reale, la stessa matematica e tutte le altre scienze. Ciò lascia intravedere possibili momenti di pratica interdisciplinare, prima nella scoperta e nella caratterizzazione delle diverse discipline in base al loro oggetto e al loro metodo, poi nel loro uso convergente nel momento conoscitivo.
Dei processi di matematizzazione esistono modelli storici esemplari in grado di illustrarne anche le intrinseche difficoltà: si pensi alla matematizzazione pre-euclidea in ambito geometrico e al suo difficile rigoroso approdo euclideo-hilbertiano, al sistema formale dell’aritmetica, delle teorie riguardanti i numeri reali, alla logica, alla probabilità ecc.. In tal senso proprio la riflessione sul ruolo dei modelli e del linguaggio matematico in fisica e nei sistemi complessi della biologia e della sociologia fa cogliere la portata di questo riferimento anche per la didattica della matematica.
Il problema didattico centrale che si pone al docente nell’attuazione dei programmi risiede nella scelta di situazioni particolarmente idonee a far insorgere in modo naturale congetture, ipotesi, problemi. Per una pratica didattica così finalizzata, offrono prioritaria ispirazione i risultati delle ricerche in campo storico-epistemologico, in quello psico-pedagogico, nonché in quello metodologico-didattico.
La scelta delle situazioni e dei problemi rientra in un quadro più vasto di progettazione didattica che si realizza attraverso la valutazione delle disponibilità psicologiche e dei livelli di partenza dei singoli studenti, l’analisi e la determinazione degli obiettivi di apprendimento, l’analisi e la selezione dei contenuti, l’individuazione di metodologie e tecniche opportune, l’adozione di adeguate modalità di verifica. Questa progettazione sostiene il lavoro didattico, favorisce la collocazione dei contenuti nel quadro del sapere scientifico, permette di individuare con più chiarezza la loro importanza e la difficoltà del loro apprendimento.
Il programma si articola in cinque temi. A questi si aggiunge un laboratorio di informatica, con valore operativo trasversale rispetto ai temi.
Non è prevista una scansione annuale dei contenuti.
L’ordine con cui sono proposti i cinque temi non è da interpretare come ordine di svolgimento. Si suggerisce che il docente li sviluppi in modo integrato, partendo da situazioni o contesti che ne mettano in luce le reciproche relazioni e connessioni, nel rispetto dell’identità caratteristica degli argomenti. Ferma restando per tutti l’acquisizione dei contenuti indicati, è necessario che il docente produca esemplificazioni, situazioni e applicazioni tendenzialmente orientate secondo le esigenze e gli interessi preminenti dei vari indirizzi di studio.
I linguaggi di programmazione, gli algoritmi risolutivi dei pro­blemi e l’aspetto operativo offerto dai calcolatori si possono utilizzare come occasioni per valorizzare nuovi accessi all’astrazione, modalità più dirette e distinte di familiarizzazione con i linguaggi formali.
La verifica dell’apprendimento deve essere strettamente correlata e coerente, nei contenuti e nei metodi, con il complesso di tutte le attività svolte durante il processo di insegnamento-apprendimento. Non può quindi ridursi ad un controllo formale sulla padronanza solo delle abilità di calcolo o di particolari conoscenze mnemoniche; deve invece vertere in modo equilibrato su tutte le tematiche e tenere conto di tutti gli obiettivi evidenziati nel programma. A tal fine il docente può servirsi di verifiche scritte e orali.
Le verifiche scritte possono essere articolate sia sotto forma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale sia sotto forma di test; possono anche consistere in brevi relazioni su argomenti specifici proposti dal docente o nella stesura (individuale o a piccoli gruppi) di semplici programmi costruiti nell’ambito del laboratorio di informatica.
Le interrogazioni orali sono utili soprattutto per valutare le capacità di ragionamento e i progressi raggiunti nella chiarezza e nella proprietà di espressione.
Nel corso delle verifiche scritte è giustificato l’uso degli stessi sussidi didattici utilizzati nell’attività di insegnamento-apprendimento (calcolatori tascabili, strumenti da disegno, e, se ritenuto opportuno, manuali e testi scolastici).

Triennio

Finalità
Nel corso del triennio superiore l'insegnamento della matematica prosegue ed amplia il processo di preparazione scientifica e culturale dei giovani già avviato nel biennio, concorre insieme alle altre discipline allo sviluppo dello spirito critico, alla loro promozione umana e intellettuale.
In questa fase della vita scolastica lo studio della matematica cura e sviluppa in particolare:
- l'acquisizione di conoscenze a livelli più elevati di astrazione e di formalizzazione;
- la capacità di cogliere i caratteri distintivi dei vari linguaggi (storico-naturali, formali, artificiali);
- la capacità di utilizzare metodi strumenti e modelli matematici in situazioni diverse;
- l'attitudine a riesaminare criticamente e a sistemare logicamente le conoscenze via via acquisite;
- l'interesse sempre più penetrante a cogliere aspetti genetici e momenti storico-filosofici del pensiero matematico.
Nei diversi indirizzi di studio l'insegnamento della matematica, pur collegandosi con gli altri contesti disciplinari per assumere prospettive ed aspetti specifici, conserva la propria autonomia epistemologica-metodologica e persegue quindi le stesse finalità.

Obiettivi
Alla fine del triennio l'alunno dovrà possedere sotto l'aspetto concettuale, i contenuti prescrittivi del programma ed essere in grado di:
- operare con il simbolismo matematico riconoscendo le regole sintattiche di trasformazione di formule;
- utilizzare metodi e strumenti di natura probabilistica e inferenziale;
- affrontare situazioni problematiche di varia natura avvalendosi di modelli matematici atti alla loro rappresentazione;
- costruire procedure di risoluzione di un problema e, ove sia il caso, tradurle in programmi per il calcolatore;
- risolvere problemi geometrici nel piano per via sintetica o per via analitica;
- interpretare intuitivamente situazione geometriche spaziali;
- tradurre e rappresentare in modo formalizzato problemi finanziari, economici e contabili attraverso il ricorso a modelli matematico-informatici;
- inquadrare storicamente l'evoluzione delle idee matematiche fondamentali;
- cogliere interazioni tra pensiero filosofico e pensiero matematico.

Contenuti
Classe terza