Introduzione e sommario (TESI0-2.pdf)

capitolo primo - Infinito come illimitato: l’infinito potenziale. (TESI1-1.pdf)

1.1. Significato

1.2. Esempi

1.2.1. La concezione di infinito negli Elementi di Euclide

Alcune premesse

Gli incommensurabili

I paradossi di Zenone

La scienza deduttiva di Aristotele

L’infinito negli Elementi di Euclide

Libro primo: i principi

Libro secondo: l’algebra geometrica

Libro quinto: la teoria delle proporzioni di Eudosso

Libri settimo, ottavo e nono: la teoria dei numeri

Libro dodicesimo: il metodo di esaustione

1.2.2. Altri esempi

La teoria dei limiti

L’assiomatizzazione dell’aritmetica di Peano

L’infinito nella matematica intuizionista

capitolo secondo - Infinito come illimitato: l’infinito attuale (TESI2-1.pdf e TESI2-2.pdf).

2.1. Significato

2.2. Esempi

2.2.1. La concezione di infinito nell’opera di Georg Cantor

Alcune premesse

Il paradosso di Galileo

I paradossi dell’infinito di Bolzano

La definizione di insieme infinito di Dedekind

La teoria dei numeri transfiniti di Cantor

Sull’estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche

La non numerabilità dell’insieme dei numeri reali

Equipotenza di linea e superficie

I numeri cardinali

Definizioni fondamentali

I cardinali finiti

Il più piccolo cardinale transfinito

Una proprietà degli insiemi transfiniti

I numeri ordinali

Definizioni fondamentali

Alcuni esempi

La prima e la seconda classe numerica

Alcuni problemi irrisolti

Alcuni sviluppi

Assiomatizzazioni della teoria degli insiemi

Il sistema ZF

Il sistema NBG

Buon ordinamento, legge di tricotomia, assioma della scelta e ipotesi del continuo

2.2.2. Altri esempi

Gli inizi del calcolo infinitesimale

I numeri reali

L’analisi non-standard

Una trattazione elementare: gli assiomi dei numeri iperreali

La questione dell’esistenza dei numeri iperreali

capitolo terzo - Infinito come inconoscibile: l’infinito naturale. (TESI3-1.pdf)

3.1. Significato

3.2. Esempi

3.2.1. La teoria degli insiemi di Vopenka

I principi basilari della teoria alternativa degli insiemi

Insiemi e classi

Finito e infinito alternativi

Il principio di prolungamento

Infiniti diversi

Una formalizzazione della teoria alternativa degli insiemi: TAI

Il linguaggio

Assiomi per gli insiemi

Assioma di astrazione e L-classi

Tre assiomi alternativi

Esistenza di semi-insiemi propri

L’assioma di prolungamento

Esistenza di due cardinalità

Altri assiomi

Assioma di codifica estensionale

Cenni su alcuni sviluppi della matematica dalla teoria alternativa degli insiemi

I numeri naturali

I numeri interi, razionali e reali

La continuità

3.2.2. Altri esempi

La numerazione nella Grecia antica e Archimede

L’assioma di scelta

La teoria degli insiemi finiti

capitolo quarto - Alcune conclusioni (TESI4-1.pdf)

4.1. Criteri di confronto di teorie matematiche coinvolgenti l’infinito

4.1.1. La fedeltà della teoria ai presupposti

Gli Elementi di Euclide e la continuità

Analisi classica, analisi intuizionista e analisi non-standard

4.1.2. La fecondità di risultati

Criteri di confronto per teorie non fondazionali

Criteri di confronto per teorie fondazionali

4.2. È possibile una scelta definitiva tra infinito potenziale, attuale e naturale?

4.2.1. Per una ontologia dell’infinito

Infinito come puro simbolo

Infinito come concetto pre-formale

4.2.2. Per una epistemologia dell’infinito

Bibliografia (TESI_BL.pdf)