Analisi del numero delle facce, dei vertici e degli spigoli dei poliedri costruiti.

poliedro
 forma delle facce
 numero delle facce
(F)
 numero dei vertici
(V)
 numero degli spigoli
(S)
cubo o esaedro
 quadrati
 6
 8
 12
tetraedro
 triangoli equilateri
 4
 4
 6
pallone da calcio
 pentagoni regolari e
esagoni regolati
 12 + 20 = 32
 60
 (12·5 + 20·6) : 2 = 90
dodecaedro
 pentagoni regolari
 12
 (12·5 ) : 3 = 20
 (12·5 ) : 2 = 30
icosaedro
 triangoli equilateri
 20
 (20·3) : 5 = 12
 (20·3) : 2 = 30
ottaedro
 triangoli equilateri
 8
 6
 12
cubo troncato
 ottagoni regolari e
triangoli equilateri
 6 + 8 = 14
 24
 (6·8 + 8·3) : 2 = 36
rombicubottaedro
 quadrati e
triangoli e quilateri
 18 + 8 = 26
 24
 48
cubottaedro
 quadrati e
triangoli equilateri
 6 + 8 = 14
 (6·4 + 8·3) : 4 = 12 (6·4 + 8·3) : 2 = 24
romboedro
 rombo
 12
 14
 (12·4) : 2 = 24
grande dodecaedro stellato
 pentagramma (stella a 5 punte)
 12
 20
 30

Man mano che abbiamo costruito i vari poliedri, abbiamo contato il numero delle loro facce (i poligoni che li delimitano), dei loro vertici (che coincidono con i vertici di quei poligoni) e dei loro spigoli (i lati dei poligoni che sono le facce). Per alcuni poliedri abbiamo proprio fisicamente contato queste quantità, senza troppe difficoltà: nel caso del cubo e del tetraedro, per esempio, questi numeri sono talmente piccoli che li si riesce a contare "a colpo d'occhio"; nel caso dell'ottaedro viene incontro la simmetria e il calcolo è presto fatto.
Per altri poliedri (quelli con un numero di facce, spigoli e vertici elevato) abbiamo contato soltanto le facce e poi abbiamo calcolato il numero dei vertici e quello degli spigoli in questo modo:
A questo punto ci siamo posti una domanda: esiste un legame, una relazione matematica, tra il numero delle facce, quello dei vertici e quello degli spigoli di un poliedro, valida per ogni poliedro? La prof. sostiene che ne esista una valida per tutti i poliedri... senza buchi. In particolare, considerando i nostri poliedri, sarebbe valida per tutti (poliedri stellati e piramidati compresi) tranne che per i caleidocicli, che hanno un "buco" in mezzo.
Guardando la tabella sopra riportata, qualcuno l'ha vista subito, qualcuno ci ha messo un po' a capire esattamente cosa cercare, ma poi in tanti l'abbiamo trovata (va bene, lo ammettiamo, qualcuno l'ha cercata sul libro, ma... va bene lo stesso!).
F + V = S + 2
Questa relazione è nota come relazione di Eulero, dal nome del matematico che non solo la intuì, ma che anche ne dimostrò la validità per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero, come dicono oggi i matematici, i poliedri semplici (o a superficie semplicemente connessa).

Per saperne di più:
* sui poliedri semplici, per i quali vale la formula di Eulero, vai a questa pagina del sito Matematita
* su Eulero, vai a questa pagina del sito Polymath
* su come si può dimostrare (e non semplicemente verificare, come abbiamo fatto noi) la relazione di Eulero, vai a questa pagina del sito Polymath

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