Polya, Un dialogo

Primi contatti con il problema
Come iniziare?	Si parta sempre dall'enunciato del problema.
Che fare?	Si consideri il problema nel suo complesso con la massima precisione e realtà possibili. In un primo tempo, si sorvoli sui dettagli.
Che vantaggio si può conseguire procedendo così?	Si comprende veramente il problema, si acquista con esso una certa familiarità, si imprime nella propria mente il fine a cui tende l'esercizio. Inoltre concentrarsi sul problema stimola la memoria e può rendere più agevole il ricordare cognizioni pertinenti ad esso.
Approfondimento della comprensione del problema
Come iniziare?	Si parta di nuovo dall'enunciato del problema. Si inizi lavorare solo quando tale enunciato risulti così chiaro e così scolpito in mente da poter essere trascurato per qualche istante senza per altro venir dimenticato.
Che fare?	Separare le parti principali del problema. In un problema di dimostrazione, le parti principali sono l'ipotesi e la tesi; in un problema di determinazione sono l'incognita, i dati e la condizione. Si analizzino le parti principali del problema proposto prendendole in considerazione ad una ad una, una dopo l'altra, ciascuna per se stessa e nei rapporti in cui è legata alle rimanenti; si esamini ogni particolare riferendolo agli altri dettagli ed al medesimo problema considerato nel suo complesso.
Che vantaggio si può conseguire procedendo così?	Si dovrebbe riuscire a vedere ed a mettere in risalto quei particolari che, probabilmente, giocheranno un ruolo essenziale in seguito.
Ricerca di un'idea feconda
Come iniziare?	Si cominci con il considerare le parti principali del problema e si inizi a lavorare solo quando queste parti principali si presentino, in virtù della precedente indagine, chiaramente distinte, limpide e ben assimilate.
Che fare?	Si consideri il problema sotto vari punti di vista e se ne cerchino gli eventuali punti di contatto con le cognizioni già acquisite. Si consideri il problema sotto vari punti di vista. Se ne mettano in risalto le diverse parti, si esaminino i particolari, si analizzi un medesimo particolare più volte in modi però tutti distinti tra loro, si pongano in relazione i particolari in maniera diversa riguardandoli sotto vari aspetti. Si tenti di trovare, per ciascun dettaglio, un'interpretazione nuova e, analogamente, qualche interpretazione originale dell'intero problema. Si cerchino gli eventuali punti di contatto con cognizioni già acquisite. Si tenti di ricordare qualche accorgimento rivelatosi utile in circostanze analoghe, di riconoscere nella questione in istudio qualche concetto già noto, di ricavare qualche informazione interessante in base all'analisi dinanzi indicata.
Che vantaggio si può conseguire?	Un'idea feconda, forse anche un'idea decisiva, che permetta di riconoscere a colpo d'occhio la via per ottenere il risultato esatto.
Come può un'idea risultare feconda?	Un'idea è tale quando indica la via completa, oppure una parte di questa; essa suggerisce, più o meno esplicitamente, come si debba procedere. Le idee possono essere più o meno complete, ma ci si stimi fortunati di averne almeno una.
Come comportarsi dinanzi ad un'idea incompleta?	È necessario prenderla in seria considerazione ed analizzarla profondamente, se essa sembra vantaggiosa. Se tale indagine convince della possibile realizzazione della stesa idea, è bene rendersi conto di quale sia la sua portata, di quanto lontano essa possa condurre; quindi è opportuno procedere ad un ulteriore esame della situazione, che, proprio alla luce di quest'idea, può apparire mutata. si consideri tale diversa situazione da diversi punti di vista e si cerchino gli eventuali punti di contatto con cognizioni già note.
Che vantaggio si può conseguire procedendo così?	Si può essere fortunati ed avere un'altra idea che forse condurrà speditamente alla soluzione. Oppure, a questo punto, saranno ormai sufficienti pochissime altre idee felici. Può anche avvenire che un'idea porti fuori strada, ma bisognerebbe essere contenti di tutte le idee nuove che possono presentarsi ala mente, anche di quelle meno efficaci, anche di quelle nebulose, anche di quelle che semplicemente chiariscono un poco quelle più confuse oppure servono soltanto a correggere le meno felici. Persino nel caso in cui non si trovi per qualche tempo nessuna nuova idea di una certa importanza, ci si deve giudicare fortunati se, intanto, la comprensione del problema è divenuta maggiore, più completa, più coerente, meno lacunosa e, in un certo senso, più equilibrata.
Sviluppo del piano
Come iniziare?	Si cominci dall'idea feconda che ha ispirato la soluzione. Si inizi a lavorare solo quando ci si senta ben sicuri del possesso della chiave del problema e certi di saper superare le difficoltà minori che possono presentarsi.
Che fare?	Procedere con la massima calma. Eseguire accuratamente tutte le operazioni algebriche oppure geometriche già previste. Accertarsi dell'esattezza di ogni passaggio attraverso una verifica formale oppure un'indagine intuitiva oppure, se possibile, in entrambi i modi. Se il problema è molto complesso, è opportuno distinguere i passaggi in "fondamentali" e "secondari", ogni passaggio fondamentale essendo costituito da più passaggi secondari.
Che vantaggio si può conseguire procedendo così?	Si esegue una risoluzioni nella quale ogni passaggio è certamente esatto.
Alla fine
Come iniziare?	Si cominci dalla soluzione, completa e corretta in ogni particolare.
Che fare?	Si consideri la soluzione sotto vari aspetti e se ne cerchino gli eventuali punti di contatto con cognizioni precedentemente acquisite. Si esaminino i dettagli della soluzione e si cerchi di esprimerli nella forma più semplice; sai esaminino le parti più lunghe, sia nella risoluzione che nel risultato, e si tenti di condensarle; ci si sforzi di vedere la soluzione nel suo complesso a colpo d'occhio. Si modifichino opportunamente le parti troppo concise oppure troppo minuziose sia del procedimento che del risultato; si cerchi di perfezionare la risoluzione, di rendere intuitiva la risposta finale, di incastonarla il più spontaneamente possibile nell'ambito del proprio sapere. Si analizzi il metodo che ha condotto al risultato, mettendone in luce i punti essenziali in modo da poterlo eventualmente applicare a qualche altro problema.
Che vantaggio si può conseguire procedendo così?	Si possono scoprire una risoluzione diversa e forse migliore, verità nuove ed interessanti. In ogni caso, poi, prendendo l'abitudine di esaminare ed analizzare così la risoluzione di un problema, si acquista una conoscenza ben ordinata e vivace; l'abilità a risolvere problemi risulta notevolmente aumentata.