Cubo e tetraedro... magici!

Stampare il file esa_e_tetraedro.pdf qui scaricabile, possibilmente su cartoncino (noi abbiamo usato cartoncini colorati, da 160 g/mq).
Tagliare entrambe le figure lungo il bordo più esterno.
Piegare entrambe le figure lungo tutte le linee rimaste, facendo attnzione di fare tutte le pieghe a valle (in modo che l'inchiostro rimanga dentro la piega).
Le due figue vanno chiuse separatamente.
La prima figura origina un cubo (detto anche esaedro, perché ha 6 facce); chiudiamolo con il nastro addesivo, cercando di farlo aderire al meglio, ma lasciamo libera una faccia di aprirsi e chiudersi (un po' come se fosse un coperchio.
La seconda figura origina un tetraedro (che è una particolarissima piramide, anzi: che cos'ha di diverso dalle solite piramidi?); chiudiamolo con del nastro adesivo, cercando di farlo aderire al meglio.
A questo punto: chi riesce a far entrare il tetraedro nel cubo? (Con questo cubo e questo tetraedro vi assicuro che dovreste riuscire a farlo, ma anche a far diventare un po' matti amici e parenti a furia di provarci!)


Sono anni che propongo questo giochino ai miei alunni di terza e vi assicuro che ogni volta c'è da ridere. Anche io fui vittima di un professore che proponeva questo gioco, durante una conferenza tenuta tanti anni fa a Brescia da Albrecht Beutelspacher (lo stesso da cui ho imparato il trucco per costruire il pallone da calcio e lo stesso che ha scritto alcuni dei libri che consiglio ai miei alunni). Riporto qui, un po' liberamente a dire il vero, alcune delle sue riflessioni, pubblicate in Piega e spiega la matematica:

Sicuramente, per prima cosa avrete tentato di inserire nel cubo una punta del tetraedro. Perché però non ha funzionato, probabilmente avrete provato a inserire una faccia del tetraedro, ancora senza successo. Per riuscire nell'impresa, dovete inserire per prima cosa uno spigolo del tetraedro, in modo che giaccia sulla diagonale del cubo. Quando il tetraedro è all'interno del cubo, ognuno dei suoi spigoli è disposto esattamente su una delle diagonali delle facce del cubo: si tratta, tra l'altro, di una caratteristica che si può sfruttare per disegnare un tetraedro. Avete mai provato a disegnare in modo prospetticamente preciso o in assonometria un cubo o un tetraedro? Disegnare un cubo non è affatto difficile. Invece il tetraedro disegnato a mano libera risulta quasi sempre irriconoscibile. Questo esperimento può servirvi da guida. Disegnate prima un cubo (in prospettiva o in assonometria). Fatelo a matita e con linee appena visibili, così che si possano poi facilmente cancellare. Ora tracciate su ogni faccia del cubo una diagonale, collegando di seguito vertici opposti. A questo punto, se si cancellano gli spigoli del cubo e si lasciano solo le diagonali, emerge il tetraedro poggiato su uno spigolo. Provateci: certe immagini del cubo in prospettiva si prestano meglio di altre.
La posizione degli spigoli del tetraedro nel cubo dovrebbe anche spiegarvi come sono state scelte le misure del cubo e del tetraedro adatti all'esperimento: lo spigolo del tetraedro deve essere uguale alla diagonale delle facce del cubo.

Un'ultima cosa su questa attività: per visualizzare bene come il tetraedro stia nel cubo, si possono anche realizzare anche degli "scheletri" di queste figure, ad esempio con degli stuzzicadenti. Io ho la fortuna di poter portare ai miei alunni due oggettini fatti da mio papà (alla fresa e al tornio). Anche lui fu vittima di questo giochino (sono tra le peggiori professoresse di matematica: le domande più difficili le rivolgo non solo ai miei alunni, ma anche ai miei familiari!). Scoperta la soluzione, si è messo prima al tavolo da disegno e poi alle macchine e questo è quel che ne è saltato fuori:
Vertici di un esaedro e del tetraedro in esso contenuto
 Vertici di un esaedro e del tetraedro in esso contenuto

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