Contenuti

Introduzione

L'insegnante partirà dai problemi proposti nella lezione precedente e dalle soluzioni fornite dai gruppi di lavoro (se di alcuni problemi non fossero state trovate soluzioni corrette avrà cura di risolverli, consultando gli alunni e partendo dalle loro proposte, alla lavagna). Egli farà notare come, in ciascun problema, si trattasse di determinare un valore in qualche modo rappresentativo di tutti gli altri; in altre parole, si trattava di trovare un valore sostituibile a tutti gli altri in modo tale che rimanesse invariata una certa proprietà (l'impressione data dalla classe, il capitale ricevuto alla fine dell'investimento, il tempo totale impiegato a compiere il percorso).

Inoltre, l'insegnante evidenzierà come (probabilmente già a priori) fosse lecito aspettarsi di determinare un valore intermedio rispetto a quelli dati, cioè che fosse più grande del più piccolo e più piccolo del più grande di essi.

Principi di Cauchy e di Chisini

Da queste due osservazioni l'insegnante trarrà spunto per enunciare i due principi (di Cauchy e di Chisini) ai quali deve sottostare un determinato valore per poter essere ritenuto il "valor medio" o "media" di una detrerminata distribuzione di dati:

Chisini

Siano  i valori rilevati (si tratterà in generale di n numeri reali).

Per determinare la media M occorre aver in mente una cosiddetta "funzione obiettivo" f: tale funzione deve restituire lo stesso risultato che sia applicata agli n valori rilevati o alla n-upla costituita da n valori uguali a M; in altre parole M dovrà essere un numero reale che soddisfi la relazione

.

La funzione f va scelta di volta in volta, in base al problema pratico che si ha di fronte.
Cauchy

Siano  i valori rilevati (si tratterà in generale di n numeri reali).

La media M dovrà essere un numero reale compreso tra il più piccolo e il più grande di questi valori, ovvero

.

Fondamentale sarà, date queste due proprietà della media, far notare come esse fossero insite nelle soluzioni dei problemi analizzati in gruppo, proprio ricostruendo le equazioni di Chisini e verificando quanto richiesto da Cauchy:

  Chisini Cauchy
problema 1
problema 2
problema 3

L'insegnante farà riflettere i ragazzi sul fatto che nessuno avesse dato loro, a priori, la funzione obiettivo, bensì che essa è stata determinata dalle caratteristiche stesse della situazione descritta dal problema. Sarà importante far notare che a richieste molto simili essi hanno risposto utilizzando "formule" molto diverse, perché la formula non stava tanto nella domanda quanto nella situazione descritta.

Una ulteriore chiarificazione della questione si potrà ottenere approfondendo una metafora classica, probabilmente già introdotta nel parlare di "indici di sintesi".
Il problema che ci si è posti, di fatto, è quello di rappresentare sinteticamente dei dati raccolti; in particolare la questione ha senso quando i dati sono molto numerosi. La metafora cui accennavo è quella per cui la sintesi, in statistica descrittiva, segue il "principio della cartolina": posso anche perdere i dati individuali, ma essa fornisce un bellissimo sguardo d'insieme. Ora, come non tutte le cartoline sono uguali, non tutte le cartoline, pur restituendo una panoramica generale e sintetica, sono costruite nello stesso modo. Così esistono diversi indici di sintesi (la moda, la mediana e le diverse medie che verranno introdotte), che si calcolano in modo diverso. Così come non ha senso scattare una foto per una cartolina usando il flash se si è in pieno giorno, così non avrà senso usare la media aritmetica per sintetizzare il tasso di interesse di un investimento...

Le medie matematiche

Nell'ora successiva l'insegnante proporrà agli studenti le definizioni formali di media aritmetica, media armonica, media geometrica e media quadratica. Avrà cura, volta per volta, di mostrare qual è la "funzione obiettivo" della relazione di Chisini e di accennare ad alcuni esempi, anche se molto semplici.

Indietro